Étude des variations de la fonction sinus sur une période

Propriété

Le tableau de variations de la fonction sinus sur `[-\pi\ ;\ \pi]`  est le suivant.

Démonstration

La fonction sinus étant impaire, on peut réduire l'intervalle d'étude à \([0~;~\pi]\) .
La fonction sinus est dérivable sur \([0~;~\pi]\)  et, pour tout réel `x`  de \([0~;~\pi]\) , on a  \(\sin'(x)=\cos(x)\) .

À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que :

• pour tout réel `x`  de \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) , \(\cos(x)\geqslant 0\)  donc \(\) la fonction sinus est croissante sur cet intervalle ;
  
• pour tout réel `x`  de \(\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right]\) , \(\cos(x)\leqslant 0\)  donc \(\) la fonction sinus est décroissante sur cet intervalle.
  

On complète le tableau de variations sur \([-\pi~;~0]\)  par symétrie.